ECUACIÓN ALGEBRAICA

Una ecuación algebraica, polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

Definición

Se llama ecuación algebraica con una incógnita la ecuación que se reduce a lo que sigue

α₀xⁿ + α₁x^n-1 + α₂x^n-2 + ...α_n-1x + α_n = 0.

donde n es un número entero positivo; α₀, α₁, α₂, ...,α_n-1, α_n se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y es buscada. El número n positivo se llama grado de la ecuación¹ Para definir un número algebraico se consideran como coeficientes, números racionales.

Forma canónica

Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas las incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.

En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

Grado

Se denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.

Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: . Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación: